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1、试题题目：设a=(cos(θ-π6)，sin(θ-π6))，b=(2cos(θ+π6)，2sin(θ+π6))．（1）若..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

设
a
=(cos(θ-
π
6
) ，sin(θ-
π
6
)) ，
b
=(2cos(θ+
π
6
)，2sin(θ+
π
6
))．
（1）若向量(2t
b
+7
a
)与向量(
b
+t
a
)的夹角为锐角，求实数t的取值范围；
（2）当t在区间（0，1]上变化时，求向量2t
b
+
m
t
a
(m为常数，且m＞0）的模的最小值．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：平面向量的应用



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）由题设易得|
a
|=1，|
b
|=2，
a
?
b
=2cos[(θ-
π
6
)-(θ+
π
6
)]=2cos(-
1
3
π)=1 
∴(2t
b
+7
a
)?(
b
+t
a
)=2t|
b
|2=2t|
b
 |2+2t
a
?
b
+7
a
?
b
+7t|
a
|  2＞0
整理可得，2t2+15t+7＞0
∴t＞-
1
2
 或 t＜-7
又当2t
b
+7
a
与b+t
a
共线时，不满足题意．
令2t
b
+7
a
=λ(
b
+t
a
)
则
2t=λ
7=tλ
∴t=±
14
2

∴t＞-
1
2
 或 t＜-7，且t≠±
14
2
         （6分）
（2）∵(2b
t
+
m
t
a
)2=4t2|
b
|2+4m
a
?
b
+
m2
t2
|
a
|2
=16t2+
m2
t2
+4m
令y=16t2+
m2
t2
+4m t∈（0，1]
∵y=16t2+
m2
t2
+4m≥8m+4m=12m
当且仅当t=
m
2

于是①当
m
2
∈(0，1] 即 0＜m≤4时
当且仅当t=
m
2
时，ymin=12m．从而|2t
b
+
m
t
a
|=2
3m

②当
m
2
＞1 即m＞4时
可证 y=16t2+
m2
t2
+4m在（0，1]为减函数
从而当t=1时，ymin=m2+4m+16
∴|2t
b
+
m
t
a
| min=
m2+4m+16
                （6分）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a=(cos(θ-π6)，sin(θ-π6))，b=(2cos(θ+π6)，2sin(θ+π6))．（1）若..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面向量的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面向量的应用”。


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