在平面直角坐标系xoy中，过定点C（p，0）作直线m与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A、B两点．（I）设N（-p，0），求NA?NB的最小值；（II）是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截-数学试题及答案

1、试题题目：在平面直角坐标系xoy中，过定点C（p，0）作直线m与抛物线y2=2px（p..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系xoy中，过定点C（p，0）作直线m与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A、B两点．
（I）设N（-p，0），求

NA

?

NB

的最小值；
（II）是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

试题来源：衢州模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面向量的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）依题意，可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：x=my+p
由

x=my+p

y2=2px

?y²-2pmy-2p²=0（2分）∴

y1+y2=2pm

y1?y2=-2p2

∴

NA

?

NB

=(x1+p，y1)?(x2+p，y2)=(x1+p)(x2+p)+y1y2

=(my1+2p)(my2+2p)+y1y2=(m2+1)y1y2+2pm(y1+y2)+4p2

=2p2m2+2p2

当m=0时

NA

?

NB

的最小值为2p²．（7分）
（II）假设满足条件的直线l存在，其方程为x=a，AC的中点为o′，l与以AC为直径的圆
相交于P，Q，PQ中点为H，则o′H⊥PQ，o′的坐标为(

x1+p

2

，

y1

2

)．∵|o′P|=

1

2

|AC|=

1

2

(x1-p)2+y12

=

1

2

x12+p2

（9分）

∴|PH|2=|o′P|2-|o′H|2=

1

4

(x12+p2)-

1

4

(2a-x1-p)2

=(a-

1

2

p)x1+a(p-a)

∴|PQ|2=(2|PH|)2=4[(a-

1

2

p)x1+a(p-a)]（13分）
令a-

1

2

p=0得a=

1

2

p．此时|PQ|=p为定值．故满足条件的直线l存在，
其方程为x=

1

2

p（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系xoy中，过定点C（p，0）作直线m与抛物线y2=2px（p..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面向量的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面向量的应用”。

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