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1、试题题目：定义在（-1，1）的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

定义在（-1，1）的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f(
x+y
1+xy
)；②当0＜x＜1时，f（x）＞0．回答下列问题．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并说明理由；
（3）若f(
1
7
)=
1
3
，试求f(
2
3
)-f(
1
9
)-2f(
1
17
)的值．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：函数的单调性、最值



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）函数定义域为（-1，1）．令x=y=0得f（0）=0，
令y=-x，则有f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．（3分）
（2）设-1＜x1＜x2＜1，
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(
x2-x1
1-x1x2
)
而x2-x1＞0，|x1||x2|＜1
∴1-x1x2＞0
∴
x2-x1
1-x1x2
＞0，
又因为1-x2＞0，1+x1＞0
∴（1-x2）（1+x1）=1-x1x2-x2+x1＞0，即1-x1x2＞x2-x1∴
x2-x1
1-x1x2
＜1
∴0＜
x2-x1
1-x1x2
＜1，
所以f(
x2-x1
1-x1x2
)＞0．即当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在区间（-1，1）上是单调递增函数．（8分）
（3）由于f(
2
3
)-f(
1
7
)=f(
11
19
)即f(
2
3
)=f(
1
7
)+f(
11
19
)
∵f(
1
9
)+f(
1
7
)=f(
1
4
)即-f(
1
9
)=f(
1
7
)-f(
1
4
)
∵f(
1
17
)+f(
1
7
)=f(
1
5
)即-2f(
1
17
)=2f(
1
7
)-2f(
1
5
)
又∵f(
1
4
)+f(
1
5
)+f(
1
5
)=f(
3
7
)+f(
1
5
)=f(
11
19
)
∴f(
2
3
)-f(
1
9
)-2f(
1
17
)=f(
1
7
)+f(
1
19
)+f(
1
7
)-f(
1
4
)+2f(
1
7
)-2f(
1
5
)
∴f(
2
3
)-f(
1
9
)-2f(
1
17
)=4f(
1
7
)=
4
3
（14分）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在（-1，1）的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。


4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：

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