已知定义域为R的函数f（x）=-2x+b2x+1+a是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断函数的单调性并证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义域为R的函数f（x）=-2x+b2x+1+a是奇函数．（1）求a，b的值；（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数的单调性并证明；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为f（x）为R上的奇函数，
所以f（0）=0，即

-1+b

2+a

=0，解得b=1，
由f（-1）=-f（1），得

-2-1+1

20+a

=-

-2+1

22+a

，解得a=2，
所以a=2，b=1；
（2）f（x）为R上的奇函数，证明如下：
由（1）知f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（-

1

2

+

1

2x1+1

）-（-

1

2

+

1

2x2+1

）=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
因为x₁＜x₂，所以2x2-2x1＞0，2x1+1＞0，2x1+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）为减函数；
（3）因为f（x）为奇函数，所以f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0可化为f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
又由（2）知f（x）为减函数，所以t²-2t＞k-2t²，即3t²-2t＞k恒成立，
而3t²-2t=3(t-

1

3

)2-

1

3

≥-

1

3

，
所以k＜-

1

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义域为R的函数f（x）=-2x+b2x+1+a是奇函数．（1）求a，b的值；（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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