已知f（x）是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f（x）=f（x+1）+f（x-1）恒成立．（Ⅰ）求证：f（x）是周期函数．（Ⅱ）已知f（-4）=2，求f（2012）．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f（x）=f（x+1）+f（x-1）恒..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知f（x）是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f（x）=f（x+1）+f（x-1）恒成立．
（Ⅰ）求证：f（x）是周期函数．
（Ⅱ）已知f（-4）=2，求f（2012）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：∵f（x）=f（x+1）+f（x-1），∴f（x+1）=f（x）-f（x-1），
则f（x+2）=f[（x+1）+1]=f（x+1）-f（x）=f（x）-f（x-1）-f（x）=-f（x-1），
所以f（x+3）=f[（x+1）+2]=-f[（x+1）-1]=-f（x），
f（x+6）=f[（x+3）+3]=-f（x+3）=f（x），所以f（x）是周期函数，且6是它的一个周期．
（Ⅱ）f（2012）=f（335×6+2）=f（2）=f[6+（-4）]=f（-4）=2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f（x）=f（x+1）+f（x-1）恒..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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