已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足，f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是-14．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=lnx-f（x）f′（x），求g（x）的最大值及相应的x值；（3）对任意正数x，恒有f（x）-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足，f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足，f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是-

1

4

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=ln x-f（x）f′（x），求g（x）的最大值及相应的x值；
（3）对任意正数x，恒有f（x）+f(

1

x

)≥（x+

1

x

）1n m，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由二次函数图象的对称性，可设f（x）=a（x-

1

2

）²-

1

4

，
又f（0）=0，∴a=1
∴f（x）=x²-x；
（2）g（x）=ln x-f（x）f′（x）=lnx-（x²-x）（2x-1），
∴g′（x）=

1

x

-6x²+6x-1=（1-x）（6x²+1）（x＞0）
∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，x＞1时，g′（x）＜0
∴函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减
∴x=1时，函数g（x）取得最大值为0；
（3）对任意正数x，恒有f（x）+f(

1

x

)≥（x+

1

x

）1nm，等价于对任意正数x，恒有（x2+

1

x2

）-（x+

1

x

）≥（x+

1

x

）1nm，
令t=x+

1

x

（t≥2），则x2+

1

x2

=t²-2
∴对任意正数x，恒有t²-2-t≥tlnm
∴lnm≤t-

2

t

-1
∵t≥2，∴t-

2

t

-1≥0
∴lnm≤0
∴0＜m≤1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足，f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：