已知函数f(x)=2-xx-1+aln(x-1)（a∈R）．（1）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围；（2）当a=2时，求证：1-1x-1＜2ln(x-1)＜2x-4（x＞2）；（3）求证：14+16+…+12-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=2-xx-1+aln(x-1)（a∈R）．（1）若函数f（x）在区间[2，+∞）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

2-x

x-1

+aln(x-1)（a∈R）．
（1）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围；
（2）当a=2时，求证：1-

1

x-1

＜2ln(x-1)＜2x-4（x＞2）；
（3）求证：

1

4

+

1

6

+…+

1

2n

＜lnn＜1+

1

2

+…+

1

n-1

（n∈N^*且n≥2）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为f ′(x)=

a(x-1)-1

(x-1)2

，若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，则f′（x）≥0恒成立，即a≥

1

x-1

恒成立，所以a≥(

1

x-1

)max．
又x∈[2，+∞），则0＜

1

x-1

≤1，所以a≥1．
（2）当a=2时，由（Ⅰ）知函数f(x)=

2-x

x-1

+2ln(x-1)在[2，+∞）上是增函数，
所以当x＞2时，f（x）＞f（2），即

2-x

x-1

+2ln(x-1)＞0，则2ln(x-1)＞

x-2

x-1

=1-

1

x-1

．
令g（x）=2x-4-2ln（x-1），则有g′(x)=2-

2

x-1

=

2(x-2)

x-1

，
当x∈（2，+∞）时，有g′（x）＞0，
因此g（x）=2x-4-2ln（x-1）在（2，+∞）上是增函数，所以有g（x）＞g（2）=0，
即可得到2x-4＞2ln（x-1）．
综上有1-

1

x-1

＜2ln(x-1)＜2x-4（x＞2）．
（3）在（2）的结论中令x-1=

t+1

t

，则

1

t+1

＜2ln

t+1

t

＜2?

1

t

，
取t=1，2，…，n-1，（n∈N^*，n≥2）时，得到（n-1）个不等式，将所得各不等式相加得，

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2(ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

)＜2(1+

1

2

+…+

1

n-1

)，
所以

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2lnn＜2(1+

1

2

+…+

1

n-1

)，
即

1

4

+

1

6

+…+

1

2n

＜lnn＜1+

1

2

+…+

1

n-1

（n∈N^*且n≥2）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=2-xx-1+aln(x-1)（a∈R）．（1）若函数f（x）在区间[2，+∞）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：