已知f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于任意实数x，y满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（1）试判断函数f（x）的单调性，并证明；（2）试解不等式f（x）+f（x-2）＜3．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于任意实数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于任意实数x，y满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（1）试判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）试解不等式f（x）+f（x-2）＜3．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意可得 f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0．
令y=

1

x

，可得 f（1）=0=f（x）+f（

1

x

），∴f（

1

x

）=-f（x）．
设 x₂＞x₁＞0，则

x2

x1

＞1，∴f（

x2

x1

）=f（x₂）+f（

1

x1

）=f（x₂）-f（x₁）＞0，
即 f（x₂）＞f（x₁），函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）不等式f（x）+f（x-2）＜3 即 f[x（x-2）]＜3．
由于 f（4）=f（2）+f（2）=2，f（8）=f（4）+f（2）=3，
故不等式即 f[x（x-2）]＜f（8）．
由

x＞0

x-2＞0

x(x-2)＜8

解得 2＜x＜4，故不等式的解集为（2，4）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于任意实数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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