已知函数f（x）=|ax-2|+blnx（x＞0，实数a，b为常数）．（1）若a=1，f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，求b的取值范围；（2）若a≥2，b=1，求方程f(x)=1x在（0，1]上解的个数．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=|ax-2|+blnx（x＞0，实数a，b为常数）．（1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=|ax-2|+blnx（x＞0，实数a，b为常数）．
（1）若a=1，f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，求b的取值范围；
（2）若a≥2，b=1，求方程f(x)=

1

x

在（0，1]上解的个数．

试题来源：江苏二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f(x)=|x-2|+blnx=

-x+2+blnx，(0＜x＜2)

x-2+blnx，(x≥2)

①当0＜x＜2时，f（x）=-x+2+blnx，f′（x）=-1+

b

x

．
由条件，得-1+

b

x

≥0恒成立，即b≥x恒成立．
∴b≥2
②当x≥2时，f（x）=x-2+blnx，f'（x）=1+

b

x

．
由条件，得1+

b

x

≥0恒成立，即b≥-x恒成立
∴b≥-2
∵f（x）的图象在（0，+∞）不间断，
综合①，②得b的取值范围是b≥2．
（2）令g(x)=|ax-2|+lnx-

1

x

，即g(x)=

-ax+2+lnx-

1

x

，(0＜x＜

2

a

)

ax-2+lnx-

1

x

，(x≥

2

a

).

当0＜x＜

2

a

时，g(x)=-ax+2+lnx-

1

x

，g′(x)=-a+

1

x

+

1

x2

，
∵0＜x＜

2

a

，∴

1

x

＞

a

2

，则g′(x)＞-a+

a

2

+

a2

4

=

a(a-2)

4

≥0
即g'（x）＞0，∴g（x）在(0，

2

a

)上是单调增函数．
当x≥

2

a

时，g(x)=ax-2+lnx-

1

x

，g′(x)=a+

1

x

+

1

x2

＞0
∴g（x）在(

2

a

，+∞)上是单调增函数．
∵g（x）的图象在（0，+∞）上不间断，
∴g（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
∵g(

2

a

)=ln

2

a

-

a

2

，而a≥2，∴ln

2

a

≤0，则g(

2

a

)＜0．g（1）=|a-2|-1=a-3
①当a≥3时，
∵g（1）≥0
，∴g（x）=0在（0，1]上有惟一解．
即方程f(x)=

1

x

解的个数为1个．
②当2≤a＜3时，
∵g（1）＜0，
∴g（x）=0在（0，1]上无解．
即方程f(x)=

1

x

解的个数为0个．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=|ax-2|+blnx（x＞0，实数a，b为常数）．（1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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