设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对定义域内的任意x，y都满足f（xy）=f（x）+f（y），且x＞1时，f（x）＞0．（1）写出一个符合要求的函数，并猜想f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若f（2）=1，-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对定义域内的任意x，y都满足f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对定义域内的任意x，y都满足f（xy）=f（x）+f（y），且x＞1时，f（x）＞0．
（1）写出一个符合要求的函数，并猜想f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（2）=1，解不等式f（x）+f（x-3）≤2．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）y=log_ax（a＞1，x＞0），…（2分）f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（3分）
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＜x₁
由f（xy）=f（x）+f（y），得f（xy）-f（x）=f（y），令xy=x₁，x=x₂，则，∵x₁＞x₂＞0，∴

x1

x2

＞1，∴f(x1)-f(x2)=f(

x1

x2

)＞0，∴f（x₁）＞f（x₂），故f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（6分）
由f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=2，得f（4）=f（2）+f（2）=2f（2）=2…（7分）∴f（x）+f（x-3）≤f（4），即f[x（x-3）]≤f（4），…（8分）
由f（x）在（0，+∞）上单调递增，得

x(x-3)≤4

x＞0

x-3＞0

，…（10分）解得

-1≤x≤4

x＞3

，…（11分）
所以不等式的解集为{x|3＜x≤4}．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对定义域内的任意x，y都满足f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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