设函数f(x)=x+alnxx，其中a为常数．（1）证明：对任意a∈R，y=f（x）的图象恒过定点；（2）当a=-1时，判断函数y=f（x）是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（3）若对任意-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=x+alnxx，其中a为常数．（1）证明：对任意a∈R，y=f（x）的图..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=x+

alnx

x

，其中a为常数．
（1）证明：对任意a∈R，y=f（x）的图象恒过定点；
（2）当a=-1时，判断函数y=f（x）是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（3）若对任意a∈（0，m]时，y=f（x）恒为定义域上的增函数，求m的最大值．

试题来源：锦州二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，
所以y=f（x）的图象过定点（1，1）；
（2）当a=-1时，f(x)=x-

lnx

x

，f/(x)=1-

1-lnx

x2

=

x2+lnx-1

x2

令g（x）=x²+lnx-1，经观察得g（x）=0有根x=1，下证明g（x）=0无其它根．g/(x)=2x+

1

x

，
当x＞0时，g^/（x）＞0，即y=g（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
所以g（x）=0有唯一根x=1；
且当x∈（0，1）时，f/(x)=

g(x)

x2

＜0，f（x）在（0，1）上是减函数；
当x∈（1，+∞）时，f/(x)=

g(x)

x2

＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数
所以x=1是f（x）的唯一极小值点．极小值是f(1)=1-

ln1

1

=1．
（3）f/(x)=1+

a-alnx

x2

=

x2-alnx+a

x2

，令h（x）=x²-alnx+a
由题设，对任意a∈（0，m]，有h（x）≥0，x∈（0，+∞），
又h/(x)=

2x2-a

x

=

2(x-

a

2

)(x+

a

2

)

x

当x∈(0，

a

2

)

时，h^/（x）＜0，h（x）是减函数；
当x∈(

a

2

，+∞)时，h^/（x）＞0，h（x）是增函数；
所以当x=

a

2

时，h（x）有极小值，也是最小值h(

a

2

)=(

3

2

-ln

a

2

)a，
又由h（x）≥0得(

3

2

-ln

a

2

)a≥0，得a≤2e³，即m的最大值为2e³．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=x+alnxx，其中a为常数．（1）证明：对任意a∈R，y=f（x）的图..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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