设f（x）=x2+bx+c（b、c∈R）．（1）若f（x）在[-2，2]上不单调，求b的取值范围；（2）若f（x）≥|x|对一切x∈R恒成立，求证：b2+1≤4c；（3）若对一切x∈R，有f(x+1x)≥0，且f(2x2+3x2+1)的最大值-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）=x2+bx+c（b、c∈R）．（1）若f（x）在[-2，2]上不单调，求b的取值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

设f（x）=x²+bx+c（b、c∈R）．
（1）若f（x）在[-2，2]上不单调，求b的取值范围；
（2）若f（x）≥|x|对一切x∈R恒成立，求证：b²+1≤4c；
（3）若对一切x∈R，有f(x+

1

x

)≥0，且f(

2x2+3

x2+1

)的最大值为1，求b、c满足的条件．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意-2＜

-b

2

＜2，
∴-4＜b＜4；
（2）须x²+bx+c≥x与x²+bx+c≥-x同时成立，即

(b-1)2-4c≤0

(b+1)2-4c≤0

，∴b²+1≤4c；
（3）因为|x+

1

x

|≥2，依题意，对一切满足|x|≥2的实数x，有f（x）≥0．
①当f（x）=0有实根时，f（x）=0的实根在区间[-2，2]内，设f（x）=x²+bx+c，所以

f(-2)≥0

f(2)≥0

-2≤-

b

2

≤2

，
即

4-2b+c≥0

4+2b+c≥0

-4≤b≤4

，又

2x2+3

x2+1

=2+

1

x2+1

∈(2，3]，
于是，f(

2x2+3

x2+1

)的最大值为f（3）=1，即9+3b+c=1，从而c=-3b-8．
故

4-2b-3b-8≥0

4+2b-3b-8≥0

-4≤b≤4

，即

b≤-

4

5

b≤-4

-4≤b≤4

，解得b=-4，c=4．
②当f（x）=0无实根时，△=b²-4c＜0，由二次函数性质知，
f（x）=x²+bx+c在（2，3]上的最大值只能在区间的端点处取得，
所以，当f（2）＞f（3）时，f(

2x2+3

x2+1

)无最大值．
于是，f(

2x2+3

x2+1

)存在最大值的充要条件是f（2）≤f（3），
即4+2b+c≤9+3b+c，所以，b≥-5．又f(

2x2+3

x2+1

)的最大值为f（3）=1，
即9+3b+c=1，从而c=-3b-8．由△=b²-4c＜0，得b²+12b+32＜0，即-8＜b＜-4．
所以b、c满足的条件为3b+c+8=0且-5≤b＜-4．
综上：3b+c+8=0且-5≤b≤-4．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）=x2+bx+c（b、c∈R）．（1）若f（x）在[-2，2]上不单调，求b的取值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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