对于区间[a，b]（a＜b），若函数y=f（x）同时满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②函数y=f（x），x∈[a，b]的值域是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“保值”区间．（1）求函数y=x2的所有-数学试题及答案

1、试题题目：对于区间[a，b]（a＜b），若函数y=f（x）同时满足：①f（x）在[a，b]上是单..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

对于区间[a，b]（a＜b），若函数y=f（x）同时满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②函数y=f（x），x∈[a，b]的值域是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“保值”区间．
（1）求函数y=x²的所有“保值”区间；
（2）函数y=x²+m（m≠0）是否存在“保值”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为函数y=x²的值域是[0，+∞），且y=x²在[a，b]的值域是[a，b]，
所以[a，b]?[0，+∞），所以a≥0，从而函数y=x²在区间[a，b]上单调递增，
故有

a2=a

b2=b.

解得

a=0，或 a=1

b=0，或 b=1.

又a＜b，所以

a=0

b=1.

所以函数y=x²的“保值”区间为[0，1]．…（3分）
（2）若函数y=x²+m（m≠0）存在“保值”区间，则有：
①若a＜b≤0，此时函数y=x²+m在区间[a，b]上单调递减，
所以

a2+m=b

b2+m=a.

消去m得a²-b²=b-a，整理得（a-b）（a+b+1）=0．
因为a＜b，所以a+b+1=0，即 a=-b-1．又

b≤0

-b-1＜b

所以 -

1

2

＜b≤0．
因为 m=-b2+a=-b2-b-1=-(b+

1

2

)2-

3

4

(-

1

2

＜b≤0)，所以 -1≤m＜-

3

4

．…（6分）
②若b＞a≥0，此时函数y=x²+m在区间[a，b]上单调递增，
所以

a2+m=a

b2+m=b.

消去m得a²-b²=a-b，整理得（a-b）（a+b-1）=0．
因为a＜b，所以 a+b-1=0，即 b=1-a．又

a≥0

a＜1-a

所以 0≤a＜

1

2

．
因为 m=-a2+a=-(a-

1

2

)2+

1

4

(0≤a＜

1

2

)，所以 0≤m＜

1

4

．
因为 m≠0，所以 0＜m＜

1

4

．…（9分）
综合 ①、②得，函数y=x²+m（m≠0）存在“保值”区间，此时m的取值范围是[-1， -

3

4

)∪(0，

1

4

)．…（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对于区间[a，b]（a＜b），若函数y=f（x）同时满足：①f（x）在[a，b]上是单..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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