已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（x-y）=f(x)?f(y)+1f(y)-f(x)成立，且f（a）=1（a为正常数），当0＜x＜2a时，f（x）＞0．（1）判断f（x）奇偶性；（2）求-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（x-y）=

f(x)?f(y)+1

f(y)-f(x)

成立，且f（a）=1（a为正常数），当0＜x＜2a时，f（x）＞0．
（1）判断f（x）奇偶性；
（2）求f （x）在[2a，3a]上的最小值和最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵定义域{x|x≠kπ，k∈Z}关于原点对称，
又f（-x）=f[（a-x）-a]
=

f(a-x)?f(a)+1

f(a)-f(a-x)

=

1+f(a-x)

1-f(a-x)

=

1+

f(a)?f(x)+1

f(x)-f(a)

1-

f(a)?f(x)+1

f(x)-f(a)

=

2f(x)

-2

=-f(x)，
对于定义域内的每个x值都成立
∴f（x）为奇函数
易证：f（x+4a）=f（x），周期为4a．
（2）f（2a）=f（a+a）=f[a-（-a）]
=

f(a)?f(-a)+1

f(-a)-f(a)

=

1-f2(a)

-2f(a)

=0，
f（3a）=f（2a+a）=f[2a-（-a）]
=

f(2a)?f(-a)+1

f(-a)-f(2a)

=

1

-f(a)

=-1．
先证明f（x）在[2a，3a]上单调递减为此，必须证明x∈（2a，3a）时，f（x）＜0，
设2a＜x＜3a，则0＜x-2a＜a，
∴f（x-2a）=

f(2a)?f(x)+1

f(2a)-f(2x)

=

1

-f(x)

＞0，∴f（x）＜0
设2a＜x₁＜x₂＜3a，
则0＜x_2-x₁＜a，∴f（x₁）＜0f（x₂）＜0，f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

f(x1)?f(x2)+1

f(x2-x1)

＞0，∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在[2a，3a]上单调递减
∴f（x）在[2a，3a]上的最大值为f（2a）=0，最小值为f（3a）=-1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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