已知函数f(x)=1x2+|x2-a|（常数a∈R+）（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（Ⅱ）试研究函数f（x）在定义域内的单调性，并利用单调性的定义给出证明．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=1x2+|x2-a|（常数a∈R+）（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性并说明理..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

x2

+|x2-a|（常数a∈R⁺）
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（Ⅱ）试研究函数f（x）在定义域内的单调性，并利用单调性的定义给出证明．

试题来源：上海模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）定义域为：（-∞，0）∪（0，+∞）
∵f(-x)=

1

(-x)2

+|(-x)2-a|=

1

x2

+|x2-a|=f(x)，
∴f（x）是偶函数．
（2）f（x）=

1

x2

+x2-a(x≤-

a

或x≥

a

)

1

x2

-x2+a(-

a

＜x＜

a

)

（a∈R⁺）
1⁰若x≤-

a

或x≥

a

，则f（x）=

1

x2

+x2-a，设

a

≤x1＜x2，f(x1)-f(x2)=

1

x

21

+

x

21

-

1

x

22

-

x

22

=(

x

22

-

x

21

)(

1

x

21

x

22

-1)
由

a

≤x₁＜x₂?x₁²x₂²≥a²?

1

x

21

x

22

≤

1

a2

且x₂²-x₁²＞0，
当

1

a2

＜1?a 时，f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[

a

，+∞)上是增函数；
又f（x）是偶函数，f（x）在(-∞，-

a

]上是减函数．
当

1

a2

≥1?0＜a≤1时，

a

≤x1＜x2≤1时，

1

x

21

x

22

＞1?f(x1)＞f(x2)，1≤x₁＜x₂时，

1

x

21

x

22

＜1?f(x1)＜f(x2)．
∴f（x）在[

a

，1]上是减函数，
在[1，+∞）上是增函数；
又f（x）是偶函数，在[-1，-

a

]上是增函数，
在（-∞，-1]上是减函数．
2⁰若-

a

≤x≤

a

(x≠0)，则f（x）=

1

x2

-x2+a，
设-

a

≤x1＜x2≤

a

，同理∴f（x）在(0，

a

]上是减函数，
又f（x）是偶函数，于是f（x）在[-

a

，0)上是增函数．
由1⁰2⁰知：当0＜a≤1时，f（x）在（0，1]上是减函数，
在[1，+∞）上是增函数，在（-∞，-1]上是减函数，在[-1，0）上是增函数；
当a＞1时，f（x）在(0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞)上是增函数，
在(-∞，-

a

]上是减函数，在[-

a

，0)上是增函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=1x2+|x2-a|（常数a∈R+）（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性并说明理..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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