已知函数f（x）=2x．（1）求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；（2）若存在x∈（-∞，0），使f（2x）-af（x）＞1成立，求a的取值范围；（3）若当x∈[0，3]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=2x．（1）求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=2^x．
（1）求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；
（2）若存在x∈（-∞，0），使f（2x）-af（x）＞1成立，求a的取值范围；
（3）若当x∈[0，3]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）²]恒成立，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）F（x）=2^x+a?2^2x，x∈（-∞，0]．
令2^x=t，因x∈（-∞，0]，故t∈（0，1]．
2^x+a?2^2x=at²+t（0＜t≤1）．（2分）
当a=0时，F（x）_max=1．（3分）
当a≠0时，令g（t）=at2+t=a(t+

1

2a

)2-

1

4a

(0＜t≤1)．
若a＞0，t=1时g（t）取最大值，g（1）=a+1．（4分）
若-

1

2

＜a＜0，t=1时g（t）取最大值，g（1）=a+1．（5分）
若a≤-

1

2

，t=-

1

2a

时g（t）取最大值，g(-

1

2a

)=-

1

4a

．（6分）
综上，F(x)max=

1+a，a＞-

1

2

-

1

4a

，a≤-

1

2

.

（7分）
（2）令2^x=t，则存在t∈（0，1）使得t²-at＞1，
即存在t∈（0，1）使得a＜t-

1

t

，∴a＜0．a的取值范围是（-∞，0）．（9分）
（3）因f（x）=2^x是单调增函数，故由f（x+1）≤f[（2x+a）²]得x+1≤（2x+a）²，
问题转化为x+1≤（2x+a）²对x∈[0，3]恒成立，（10分）
即4x²+（4a-1）x+a²-1≥0，令h（x）=4x²+（4a-1）x+a²-1，
若

1-4a

8

＜0，必需且只需h（0）≥0，此时得a≥1；（12分）
若

1-4a

8

＞3，必需且只需h（3）≥0，此时得a≤-8；（14分）
若0≤

1-4a

8

≤3，必需且只需△=（4a-1）²-16（a²-1）≤0，此时无解．
综上得a的取值范围是{a|a≤-8或a≥1}．（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=2x．（1）求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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