已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)=ax+b1+x2为奇函数，且f(12)=25．（1）求实数a，b的值；（2）用定义证明：函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数；（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)=ax+b1+x2为奇函数，且f(12)=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)=

ax+b

1+x2

为奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求实数a，b的值；
（2）用定义证明：函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数；
（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f(x)=

ax+b

1+x2

为奇函数，且f(

1

2

)=

a

2

+b

1+(

1

2

)2

=

2

5

∴f(-

1

2

)=

-

a

2

+b

1+(-

1

2

)2

=-f(

1

2

)=-

2

5

，解得：a=1，b=0．
∴f(x)=

x

1+x2

（2）证明：在区间（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，f(x1)-f(x2)=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

x1(1+x22)-x2(1+x12)

(1+x12)(1+x22)

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

∵-1＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，（1+x₁²）＞0，（1+x₂²）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．
（3）∵f（t-1）+f（t）＜0
∴f（t）＜-f（t-1）=f（1-t）
∵函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数
∴

t＜1-t

-1＜t＜1

-1＜1-t＜1

∴0＜t＜

1

2

故关于t的不等式的解集为(0，

1

2

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)=ax+b1+x2为奇函数，且f(12)=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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