设0＜a＜1，f(logax)=a(x2-1)(a2-1)x，（Ⅰ）求f（x）的表达式，并指出其奇偶性、单调性（不必写出证明过程）；（Ⅱ）解关于x的不等式：f（ax）+f（-2）＞f（2）+f（-ax）（Ⅲ）（理）当n∈N时，比较f（n）-数学试题及答案

1、试题题目：设0＜a＜1，f(logax)=a(x2-1)(a2-1)x，（Ⅰ）求f（x）的表达式，并指出其..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

设0＜a＜1，f(logax)=

a(x2-1)

(a2-1)x

，
（Ⅰ）求f（x）的表达式，并指出其奇偶性、单调性（不必写出证明过程）；
（Ⅱ）解关于x的不等式：f（a^x）+f（-2）＞f（2）+f（-a^x）
（Ⅲ）（理）当n∈N时，比较f（n）与n的大小．
（文）若f（x）-4的值仅在x＜2时取负数，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）令t=log_ax，则x=a^t，∴f(t)=

a(a2t-1)

(a2-1)at

，∴f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x），x∈R．（2分）
∵f（-x）=f（x），∴奇函数．∵0＜a＜1，∴函数为增函数（2分）
（Ⅱ）∵f（a^x）-f（2）＞f（2）-f（a^x）
∴f（a^x）＞f（2），a^x＞2，
∵0＜a＜1，∴x＜log_a2（4分）
（Ⅲ）（理料）f（1）=1，（1分）
当n≥2时，f（n）=

1

an

?

a[1-(a2)n]

1-a2

=

1

an

(a+a3+a5+…a^2n-1，）
=

1

2an

[(a+a2n-1)+(a3+a2n-3)+…+（a^2n-1+a）]＞

1

2an

?n?2an=n(∵0＜a＜1)（5分）
或用数学归纳法证明：f（k+1）=af（k）+a^-k＞ak+ak^-k∵0＜a＜1，
∴可令

1

a

=1+α，α＞0，∴ka+a-k＞ka+(1+α)n≥ka+1+kα=k(a+

1

a

-1)+1＞k+1
（文科）∵f(x)＜4?x＜2?f(x)＜f(2)∴f(2)=4，a=2-

3

（6分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设0＜a＜1，f(logax)=a(x2-1)(a2-1)x，（Ⅰ）求f（x）的表达式，并指出其..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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