已知：函数f（x）=x2+2x+ax，x∈[1，+∞]，（1）当a=-1时，判断并证明函数的单调性并求f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞]，f（x）＞0都成立，试求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知：函数f（x）=x2+2x+ax，x∈[1，+∞]，（1）当a=-1时，判断并证明函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知：函数f（x）=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞]，
（1）当a=-1时，判断并证明函数的单调性并求f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞]，f（x）＞0都成立，试求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=-1时f（x）=

x2+2x-1

x

=x-

1

x

+2
f′（x）=1+

1

x2

＞0，x∈[1，+∞]，所以f（x）在x∈[1，+∞]上是增函数，
所以x=1时f（x）取最小值，最小值为2
（2）若对任意x∈[1，+∞]f（x）＞0恒成立，则

x2+2x+a

x

＞0对任意x∈[1，+∞]恒成立，所以x²+2x+a＞0对任意x∈[1，+∞]恒成立，令g（x）=x²+2x+a，x∈[1，+∞]，
因为g（x）=x²+2x+a在∈[1，+∞]，上单调递增，
所以x=1时g（x）取最小值，最小值为3+a，
∵3+a＞0，∴a＞-3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知：函数f（x）=x2+2x+ax，x∈[1，+∞]，（1）当a=-1时，判断并证明函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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