已知定义域在R上的单调函数y=f（x），存在实数x0，使得对于任意的实数x1，x2，总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立．（1）求x0的值；（2）若f（x0）=1，且对任意正整数n，有an=-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义域在R上的单调函数y=f（x），存在实数x0，使得对于任意的实..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知定义域在R上的单调函数y=f（x），存在实数x₀，使得对于任意的实数x₁，x₂，总有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x₀的值；
（2）若f（x₀）=1，且对任意正整数n，有a_n=

1

f(n)

，b_n=f（

1

2n

）+1，记T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，求a_n与T_n；
（3）在（2）的条件下，若不等式an+1+an+2+…+a2n＞

4

35

[log

1

2

(x+1)-log

1

2

(9x2-1)+1]对任意不小于2的正整数n都成立，求实数x的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x₁=x₂=0，得f（0）=f（x₀）+2f（0），∴f（x₀）=-f（0）①
令x₁=1，x₂=0，得f（x₀）=f（x₀）+f（1）+f（0），∴f（1）=-f（0）②
由①②得f（x₀）=f（1）
又∵f（x）是单调函数，
∴x₀=1；
（2）由（1）可得 f（x₁+x₂）=f（1）+f（x₁）+f（x₂）+1
则f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2
又∵f（1）=1
∴f（n）=2n-1（n∈N^*），
∴a_n=

1

2n-1

∵f（1）=f（

1

2

+

1

2

）=f（

1

2

）+f（

1

2

）+f（1），
∴f（

1

2

）=0，∴b₁=f（

1

2

）+1=1
∵f(

1

2n

)=f(

1

2n+1

+

1

2n+1

)=2f(

1

2n+1

)+f(1)=2f(

1

2n+1

)+1
∴2bn+1=2f(

1

2n+1

+

1

2n+1

)=2f(

1

2n+1

)+2=f(

1

2n

)+1=bn
∴bn=(

1

2

)n-1
∴T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=

2

3

[1-(

1

4

)n]
（3）令F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n
则F（n+1）-F（n）=

1

4n+1

+

1

4n+3

-

1

2n+1

＞0
当n≥2时，F（n）＞F（n-1）＞…＞F（2）=a₃+a₄=

12

35

∴

12

35

＞

4

35

[log

1

2

(x+1)-log

1

2

(9x2-1)+1]
即log

1

2

(x+1)-log

1

2

(9x2-1)＜2
∴

x+1＞0

9x2-1＞0

x+1

9x2-1

＞

1

4

，解得-

5

9

＜x＜-

1

3

或

1

3

＜x＜1
故x∈(-

5

9

，-

1

3

)∪(

1

3

，1)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义域在R上的单调函数y=f（x），存在实数x0，使得对于任意的实..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：