设函数f(x)=x+a2x(a＞0)，（1）求证：函数f（x）是奇函数；（2）试用函数的单调性的定义证明函数f（x）在区间（0，a]单调递减；（3）试判断（不必证明）函数f（x）在定义域上的单调性．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=x+a2x(a＞0)，（1）求证：函数f（x）是奇函数；（2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=x+

a2

x

(a＞0)，
（1）求证：函数f（x）是奇函数；
（2）试用函数的单调性的定义证明函数f（x）在区间（0，a]单调递减；
（3）试判断（不必证明）函数f（x）在定义域上的单调性．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：因为f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f(-x)=-x-

a2

x

=-f(x)，
故f（x）是奇函数；
（2）证明：设0＜x₁＜x₂≤a，则f(x1)-f(x2)=x1+

a2

x1

-x2-

a2

x2

=(x1-x2)(1-

a2

x1x2

)．
因为0＜x₁＜x₂≤a，所以0＜x₁x₂＜a²，从而1-

a2

x1x2

＜0且x₁-x₂＜0，故f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
因此函数f（x）在区间（0，a]上单调递减；同理可以证明函数f（x）在区间[a，+∞）上单调递增；
（3）∵f（x）是奇函数；在区间（0，a]上单调递减，在区间[a，+∞）上单调递增；
∴函数f（x）在区间（-∞，-a]上单调递增，在区间[-a，0）上单调递减，
综上所述：函数f（x）在区间（-∞，-a]上单调递增，在区间[-a，0）上单调递减，在（0，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=x+a2x(a＞0)，（1）求证：函数f（x）是奇函数；（2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：