试讨论函数f（x）=logax+1x-1（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上的单调性，并予以证明．-数学试题及答案

1、试题题目：试讨论函数f（x）=logax+1x-1（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

试讨论函数f（x）=log_a

x+1

x-1

（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上的单调性，并予以证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设u=

x+1

x-1

，任取x₂＞x₁＞1，则
u₂-u₁=

x2+1

x2-1

-

x1+1

x1-1

=

(x2+1)(x1-1)-(x1+1)(x2-1)

(x2-1)(x1-1)

=

2(x1-x2)

(x2-1)(x1-1)

．
∵x₁＞1，x₂＞1，∴x₁-1＞0，x₂-1＞0．
又∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0．
∴

2(x1-x2)

(x2-1)(x1-1)

＜0，即u₂＜u₁．
当a＞1时，y=log_ax是增函数，∴log_au₂＜log_au₁，
即f（x₂）＜f（x₁）；
当0＜a＜1时，y=log_ax是减函数，∴log_au₂＞log_au₁，
即f（x₂）＞f（x₁）．
综上可知，当a＞1时，f（x）=log_a

x+1

x-1

在（1，+∞）上为减函数；
当0＜a＜1时，f（x）=log_a

x+1

x-1

在（1，+∞）上为增函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“试讨论函数f（x）=logax+1x-1（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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