已知函数f（x）=lg（x2+tx+1），（t为常数，且t＞-2）（1）当x∈[0，2]时，求f（x）的最小值（用t表示）；（2）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2），若存在，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lg（x2+tx+1），（t为常数，且t＞-2）（1）当x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lg（x²+tx+1），（t为常数，且t＞-2）
（1）当x∈[0，2]时，求f（x）的最小值（用t表示）；
（2）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2），若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令g（x）=x²+tx+1，对称轴方程为x=-

t

2

，
∵x∈[0，2]，∴由对称轴x=-

t

2

与区间[0，2]的位置关系进行分类讨论：
①当-

t

2

≤0，即t≥0时，g（x）min=g（0）=1，∴f（x）min=0．
②当0＜-

t

2

＜2，即-4＜t＜0时，g（x）min=g（-

t

2

）=1-

t2

4

，
考虑到g（x）＞0，所以-2＜t＜0，f（x）min=f（-

t

2

）=lg（1-

t2

4

）；
③当-

t

2

≥2，即t≤-4时，g（x）min=g（2）=5+2t，
考虑到g（x）＞0，∴f（x）没有最小值．
综上所述：当t≤-2时f（x）没有最小值；
当t＞-2时，f（x）_min=

lg(1-

t2

4

)，-2＜t＜0

0，t≥0

．
（2）假设存在．
由题设条件，得

a2+ta+1=a

b2+tb+1=b

a≠b

，
等价于x²+tx+1=x在区间（0，2）上有两个不同的实根，
令h（x）=x²+（t-1）x+1在（0，2）上有两个不同的零点
∴

h(0)＞0

h(2)＞0

△＞0

0＜-

b

2a

＜2

，即

1＞0

t＞-

3

2

(t-1)2-4＞0

0＜-

t-1

2

＜2

，
解得-

3

2

＜t＜-1．
故实数t的取值范围是（-

3

2

，-1）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lg（x2+tx+1），（t为常数，且t＞-2）（1）当x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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