设函数f(x)=ax2-24+2b-b2x，g(x)=-1-(x-a)2，a，b∈R．（1）当b=0时，已知f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）当a是整数时，存在实数x0，使得f（x0）是f（x）的最大值，且g-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=ax2-24+2b-b2x，g(x)=-1-(x-a)2，a，b∈R．（1）当b=0时，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=ax2-2

4+2b-b2

x，g(x)=-

1-(x-a)2

，a，b∈R．
（1）当b=0时，已知f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）当a是整数时，存在实数x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，且g（x₀）是g（x）的最小值，求所有这样的实数对（a，b）；
（3）定义函数h（x）=-（x-2k）²-2（x-2k），x∈（2k-2，2k），k=0，1，2，…，则当h（x）取得最大值时的自变量x的值依次构成一个等差数列，写出该等差数列的通项公式（不必证明）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当b=0 时，f（x）=ax²-4x，（1分）
若a=0，则f（x）=-4x 在[2，+∞）上递减，不合题意，舍去；（2分）
故a≠0，要使f（x）在[2，+∞）上单调递增，则

a＞0

4

2a

≤2

，即a≥1；（6分）
（2）若a=0，则f（x）=-2

4+2b-b2

x无最大值，不合题意，故a≠0，（7分）
于是f（x）为二次函数，f（x）有最大值?

a＜0

4+2b-b2≥0

?

a＜0

1-

5

≤b≤1+

5

，（9分）
此时，当x=x₀=

4+2b-b2

a

时，f（x）取到最大值，（10分）
显然，当且仅当x=x₀=a时，g（x）取到最小值，故

4+2b-b2

a

=a∈Z，（11分）
于是a²=

4+2b-b2

=

5-(b-1)2

≤

5

(12分)
又a∈Z，a＜0，所以a=-1，b=-1，3，（13分）
所以满足题意的实数对为（a，b）=（-1，-1），或（a，b）=（-1，3）；（14分）
（3）∵h（x）=-x²+4kx-4k²-2x+k=-[x-（2k-1）]²+1（16分）
∴h（x）取得最小值时x的值为2k-1（k∈N），∴x_n=2n-3，n∈N^*．（18分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=ax2-24+2b-b2x，g(x)=-1-(x-a)2，a，b∈R．（1）当b=0时，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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