已知a、b、c∈R且a＜b＜c，函数f（x）=ax2+2bx+c满足f（1）=0，且关于t的方程f（t）=-a有实根（其中t∈R且t≠1）．（1）求证：a＜0，c＞0；（2）求证：0≤ba＜1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知a、b、c∈R且a＜b＜c，函数f（x）=ax2+2bx+c满足f（1）=0，且关于t的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-12 07:30:00

试题原文

已知a、b、c∈R且a＜b＜c，函数f（x）=ax²+2bx+c满足f（1）=0，且关于t的方程f（t）=-a有实根（其中t∈R且t≠1）．
（1）求证：a＜0，c＞0；
（2）求证：0≤

b

a

＜1．

试题来源：越秀区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）∵f（x）=ax²+2bx+c，
∴f（1）=a+2b+c=0 ①．
又a＜b＜c，∴2a＜2b＜2c，∴4a＜a+2b+c＜4c，
即4a＜0＜4c，所以a＜0，c＞0．
（2）由f（1）=a+2b+c=0，得c=-a-2b，又a＜b＜c及a＜0，得-

1

3

＜

b

a

＜1 ②．
将c=-a-2b代入f（t）=at²+2bt+c=-a，得at²+2bt-2b=0．
因为关于t的方程at²+2bt-2b=0有实根，所以△=4b²+8ab≥0，
即(

b

a

)2+2(

b

a

)≥0，解得

b

a

≤-2或

b

a

≥0 ③．由②、③知0≤

b

a

＜1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a、b、c∈R且a＜b＜c，函数f（x）=ax2+2bx+c满足f（1）=0，且关于t的..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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