设f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（x）在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别为M、m，集合A={x|f（x）≤x}，（1）若A=[1，2]，且f（0）=2，求M和m的值；（2）若M+m≠8a+2c，求证：|ba|＜-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（x）在区间[-2，2]上的最大值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-12 07:30:00

试题原文

设f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（x）在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别为M、m，集合A={x|f（x）≤x}，
（1）若A=[1，2]，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若M+m≠8a+2c，求证：|

b

a

|＜4；
（3）若A=2，a∈[2ⁿ，+∞）（n∈N₊），M-m的最小值记为g（n），估算使g（n）∈[10³，10⁴]的一切n的取值．（可以直接写出你的结果，不必详细说理）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵A=[1，2]，
∴ax²+（b-1）x+2≤0的解集为[1，2]，
∴方程ax²+（b-1）x+2=0的两个根x₁=1，x₂=2，
由韦达定理得到：a=1，b=-2，
又f（0）=2，所以c=2，
则f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴M=f（-2）=10，m=f（1）=1；
（2）若|

b

a

|≥4，则函数y=f（x）的对称轴x=-

b

2a

?(-2，2)，
∴f（x）在[-2，2]上单调，
∴M+m=f（-2）+f（2）=8a+2c，与已知矛盾，
∴|

b

a

|＜4；
（3）∵A=2，∴ax²+（b-1）x+2=0有两个等根x₁=x₂=2，
∴c=4a，b=1-4a，f（x）=ax²+（1-4a）x+4a，其对称轴x=

4a-1

2a

=2-

1

2a

∈(0，2)，(a≥2n)，∴M=f(-2)=16a-2，m=

8a-1

4a

，M-m=16a+

1

4a

-4，g(n)=2n+4+

1

2n+2

-4
满足条件的n取值为6、7、8、9．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（x）在区间[-2，2]上的最大值..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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