已知圆C的方程为x2+y2=4，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆T：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点．（1）求椭圆T的方程；（2）已知直线l与椭圆T相-数学试题及答案

1、试题题目：已知圆C的方程为x2+y2=4，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知圆C的方程为x²+y²=4，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆T：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点．
（1）求椭圆T的方程；
（2）已知直线l与椭圆T相交于P，Q两不同点，直线l方程为y=kx+

3

(k＞0)，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．

试题来源：许昌三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意：一条切线方程为：x=2，设另一条切线方程为：y-4=k（x-2）．．（2分）
则：

|4-2k|

k2+1

=2，解得：k=

3

4

，此时切线方程为：y=

3

4

x+

5

2

切线方程与圆方程联立，可得x²+（

3

4

x+

5

2

）²=4，从而可得x=-

6

5

，y=

8

5

，
则直线AB的方程为x+2y=2…．（4分）
令x=0，解得y=1，∴b=1；令y=0，得x=2，∴a=2
故所求椭圆方程为

x2

4

+y2=1…．（6分）
（2）联立

y=kx+

3

x2

4

+y2=1.

整理得(1+4k2)x2+8

3

kx+8=0，
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

-8

3

k

1+4k2

，x1x2=

8

1+4k2

，
△=(8

3

k)2-32(1+4k2)＞0，即：2k²-1＞0…．．（8分）
又原点到直线l的距离为d=

3

1+k2

，|PQ|=

1+k2

|x1-x2|，…．．（10分）
∴S△OPQ=

1

2

|PQ|?d=

3

2

|x1-x2|=

3

2

(x1+x2)2-4x1x2

=2

6

?

2k2-1

(1+4k2)2

=2

6

?

2k2-1

4(2k2-1)2+12(2k2-1)+9

=2

6

?

1

4(2k2-1)+12+

9

2k2-1

≤1
当且仅当k=

5

2

时取等号，则△OPQ面积的最大值为1． …．．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知圆C的方程为x2+y2=4，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：