已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x3-242y-230-422（Ⅰ）求C1、C2的标准方程；（Ⅱ）请问是否存在-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

x

3

-2

4

2

y

-2

3

0

-4

2

（Ⅰ）求C₁、C₂的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线l满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交不同两点M、N且满足

OM

⊥

ON

？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

试题来源：长春模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），则有

y2

x

=2p(x≠0)，据此验证4个点知（3，-2

3

）、（4，-4）在抛物线上，易求C₂：y²=4x（2分）
设C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，把点（-2，0）（

2

，

2

）代入得：

4

a2

=1

2

a2

+

1

2b2

=1

解得

a2=4

b2=1

∴C₁方程为

x2

4

+y2=1（5分）
（Ⅱ）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；（6分）
当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），
设其方程为y=k（x-1），与C₁的交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

x2

4

+y2=1

y=k(x-1)

消掉y，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，（8分）
于是x1+x2=

8k2

1+4k2

，x1x2=

4(k2-1)

1+4k2

①
y₁y₂=k（x₁-1）×k（x₁-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
即y1y2=k2(

4(k2-1)

1+4k2

-

8k2

1+4k2

+1)=-

3k2

1+4k2

②（10分）
由

OM

⊥

ON

，即

OM

?

ON

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0（*），
将①、②代入（*）式，得

4(k2-1)

1+4k2

-

3k2

1+4k2

=

k2-4

1+4k2

=0，解得k=±2；（11分）
所以存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x-2或y=-2x+2．（12分）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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