已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为32，且短轴长为2．（I）求椭圆方程；（II）过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线交椭圆于A、B两点，试将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为32，且短轴长为2．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，且短轴长为2．
（I）求椭圆方程；
（II）过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线交椭圆于A、B两点，试将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，且短轴长为2
∴

c

a

=

3

2

，b=1
∵a²=b²+c²
∴a²=4
∴椭圆方程为

x2

4

+y2 =1
（II）由题意知：|m|≥1，
当m=1时，切线l的方程为x=1，点A（1，

3

2

）点B（1，-

3

2

）此时|AB|=

3

；
当m=-1时，同理可得|AB|=

3

；
当m≠±1时，设切线l的方程为：y=k（x-m），由

y=k(x-m)

x2

4

+y2 =1

可得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x₁+x₂=

8k2m

1+4k2

，x1?x2=

4k2m2-4

1+4k2

，
∵l与圆x²+y²=1相切
∴圆心到直线l的距离等于圆的半径，即

|km|

1+k2

=1
∴m=

1+k2

k2

，
所以|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1?x2]

=

(1+k2)?[

64k4m2

(1+4k2)2

-

4(4k2m2-4)

1+4k2

=

4

3

|m|

m2+3

由于当m=±1时，|AB|=

3

，
当m≠±1时，|AB|=

4

3

|m|

m2+3

，此时m∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
又|AB|=

4

3

|m|

m2+3

=

4

3

|m|+

3

|m|

≤2，（当且仅当m=±

3

时，|AB|=2），
所以，|AB|的最大值为2．
故|AB|的最大值为2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为32，且短轴长为2．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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