已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=22，点F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，过右焦点F2且垂直于长轴的弦长为2（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点F1作直线l，交椭-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=22，点F1，F2分别为椭..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=

2

，点F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，过右焦点F₂且垂直于长轴的弦长为

2

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点F₁作直线l，交椭圆于P，Q两点，若

F2P

?

F2Q

=2，求直线l的倾斜角．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意可设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
右焦点F₂（c，0），把x=c代入椭圆方程得

c2

a2

+

y2

b2

=1，解得y=±

b2

a

．
∴

2b2

a

=

2

．
联立

2b2

a

=

2

e=

c

a

=

2

a2=b2+c2

，解得

a2=2

b=c=1

．
∴椭圆的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（2）设直线l与椭圆的交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
①当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为my=x+1．
联立

my=x+1

x2

2

+y2=1

，得（2+m²）y²-2my-1=0．
∴y1+y2=

2m

2+m2

，y1y2=

-1

2+m2

．
∵2=

F2P

?

F2Q

=（x₁-1，y₁）?（x₂-1，y₂）=（my₁-2，y₁）?（my₂-2，y₂）=（m²+1）y₁y₂-2m（y₁+y₂）+4，
∴2=

-(m2+1)

2+m2

-

4m2

2+m2

+4，
化为m²=1，解得m=±1，
∴直线l的斜率k=

1

m

=±1．
设直线的倾斜角为α，则tanα=±1．
∴α=

π

4

或

3π

4

．
②当直线l的斜率为0时，P(-

2

，0)，Q(

2

，0)．

F2P

?

F2Q

=(-

2

-1)×(

2

-1)=-1≠2，不符合题意，应舍去．
综上可知：直线l的倾斜角α为

π

4

或

3π

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=22，点F1，F2分别为椭..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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