已知椭圆x2a2+y2b2=1，(a＞b＞0)的离心率为32，点P（2，1）是椭圆上一定点，若斜率为12的直线与椭圆交于不同的两点A、B．（I）求椭圆方程；（II）求△PAB面积的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆x2a2+y2b2=1，(a＞b＞0)的离心率为32，点P（2，1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，点P（2，1）是椭圆上一定点，若斜率为

1

2

的直线与椭圆交于不同的两点A、B．
（ I）求椭圆方程；
（ II）求△PAB面积的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（ I）∵e=

c

a

=

3

2

，
∴c=

3

2

a，b=

1

2

a，
又P（2，1）在椭圆上，代入椭圆方程，
得：

4

a2

+

1

b2

=1，
∴a²=8，b²=2，
椭圆方程为：

x2

8

+

y2

2

=1…（6分）
（ II）设直线AB的方程为：y=

1

2

x+m，
与椭圆联列方程组得，

y=

1

2

x+m

x2

8

+

y2

2

=1

，
代入得：2x²+4mx+4m²-8=0，…（8分）
∵△=16m²-8（4m²-8）＞0，
解得，-2＜m＜2
由韦达定理得：x₁+x₂=-2m，
x₁x₂=2m²-4|AB|=

1+

1

4

?

4m2-4(2m2-4)

=

5

2

?

16-4m2

=

5

?

4-m2

P到直线AB的距离：d=

|2m|

5

，…（12分）
S△PAB=

1

2

?

5

?

4-m2

?

|2m|

5

=

(4-m2)m2

≤2
当4-m²=m²，
即m=±

2

时，
S_△PAB有最大值2 …（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆x2a2+y2b2=1，(a＞b＞0)的离心率为32，点P（2，1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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