已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），⊙O：x2+y2=b2，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点．（1）若P（-1，3），PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程；（2）是否存在这样的椭圆C，-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），⊙O：x2+y2=b2，点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），⊙O：x²+y²=b²，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点．
（1）若P（-1，

3

），PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程；
（2）是否存在这样的椭圆C，使得

PA

PF

是常数？如果存在，求C的离心率，如果不存在，说明理由．

试题来源：枣庄一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵P（-1，

3

）在⊙O：x²+y²=b²上，
∴b²=4．（2分）
又∵PA是⊙O的切线
∴PA⊥OP
∴

OP

?

AP

=0
即（-1，

3

）?（-1+a，

3

）=0，解得a=4．
∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

4

=1（5分）
（2）∵c²=a²-b²，A（-a，0），F（-c，0），P（x₁，y₁）
使得

PA

PF

是常数，则有（x₁+a）²+y₁²=λ[（c+x₁）²+y₁²]（λ是常数）
∵x²+y²=b²
即b²+2ax₁+a²=λ（b²+2cx₁+c²），（8分）
比较两边，b²+a²=λ（b²+c²），a=λc，（10分）
故cb²+ca²=a（b²+c²），即ca²-c³+ca²=a³，
即e³-2e+1=0，（12分）
（e-1）（e²+e-1）=0，符合条件的解有e=

5

-1

2

，
即这样的椭圆存在，离心率为

5

-1

2

．（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），⊙O：x2+y2=b2，点..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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