在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DP|=2|DM|，点P在圆上运动．（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）过定点C（-1，0）的直线与点M的轨迹交于A、B两点-数学试题及答案

1、试题题目：在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DP|=

2

|DM|，点P在圆上运动．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过定点C（-1，0）的直线与点M的轨迹交于A、B两点，在x轴上是否存在点N，使

NA

?

NB

为常数，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y₁）
∵|DP|=

2

|DM|，∴|y1|=

2

|y|
∵P（x，y₁）在圆x²+y²=4上，∴x2+y12=4
∴x²+2y²=4
∴点M的轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1(x≠±2)；
（Ⅱ）假设存在N（n，0）
AB斜率存在时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程：y=k（x+1），
代入椭圆方程得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-4=0，∴x₁+x₂=-

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-4

1+2k2

∵

NA

=(x1-n，y1)，

NB

=(x2-n，y2)，
∴

NA

?

NB

=（x₁-n，y₁）?（x₂-n，y₂）=（1+k²）x₁x₂+(k2-n)(x1+x2)+k2+n2=

1

2

(2n2+4n-1)-

2n+

7

2

1+2k2

∵

NA

?

NB

是与k无关的常数，
∴2n+

7

2

=0
∴n=-

7

4

，即N（-

7

4

，0），此时

NA

?

NB

=-

15

16

当直线AB与x垂直时，n=-

7

4

时

NA

?

NB

=-

15

16

综上所述，在x轴上存在定点N（-

7

4

，0），使

NA

?

NB

为常数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：