在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞0，b＞0）经过点A（62，2），且点F（0，-1）为其一个焦点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设椭圆E与y轴的两个交点为A1，A2，不在y轴上的动点P在-数学试题及答案

1、试题题目：在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞0，b＞0）经..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）经过点A（

6

2

，

2

），且点F（0，-1）为其一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E与y轴的两个交点为A₁，A₂，不在y轴上的动点P在直线y=b²上运动，直线PA₁，PA₂分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线MN通过一个定点，且△FMN的周长为定值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）根据题意可得

3

2a2

+

2

b2

=1

b2-a2=1

可解得

a=

3

b=2

∴椭圆E的方程为

x2

3

+

y2

4

=1…（4分）
（Ⅱ）不妨设A₁（0，2），A₂（0，-2）
P（x₀，4）为直线y=4上一点（x₀≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直线PA₁方程为y=

2

x0

x+2，直线PA₂方程为y=

6

x0

x-2
点M（x₁，y₁），A₁（0，2）的坐标满足方程组

x2

3

+

y2

4

=1

y=

2

x0

x+2

可得

x1=

-6x0

3+x0

y1=

2x

20

-6

3+x0

点N（x₂，y₂），A₂（0，-2）的坐标满足方程组

x2

3

+

y2

4

=1

y=

6

x0

x-2

可得

x2=

18x0

27+

x

20

y2=

-2

x

20

+54

27+

x

20

由于椭圆关于y轴对称，当动点P在直线y=4上运动时，直线MN通过的定点必在y轴上，
当x₀=1时，直线MN的方程为y+1=

4

3

(x+

3

2

)，令x=0，得y=1可猜测定点的坐标为（0，1），并记这个定点为B
则直线BM的斜率k_BM=

y1-1

x1

=

2

x

20

-6

3+

x

20

-1

-6x0

3+

x

20

=

9-

x

20

6x0

直线BN的斜率k_BN=

y2-1

x2

=

-2

x

20

+54

27+

x

20

-1

18x0

27+

x

20

=

9-

x

20

6x0

∴k_BM=k_BN，即M，B，N三点共线，故直线MN通过一个定点B（0，1），
又∵F（0，-1），B（0，1）是椭圆E的焦点，
∴△FMN周长=|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞0，b＞0）经..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：