已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左顶点A（-2，0），过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点A的直线l与椭圆交于点Q，与y轴交于点R，过原点与l平行的直线与-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左顶点A（-2，0），过右..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左顶点A（-2，0），过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点A的直线l与椭圆交于点Q，与y轴交于点R，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P，求证：

|AQ|?|AR|

|OP|2

为定值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）a=2，设过右焦点F且垂直于长轴的弦为MN，将M（c，y_M）代入椭圆方程

c2

a2

+

y

2M

b2

=1，解得y_M=±

b2

a

，…（2分）
故

2b2

a

=3，可得b²=3． …（4分）
所以，椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1． …（6分）
（2）由题意知，直线AQ，OP斜率存在，故设为k，则直线AQ的方程为y=k（x+2），直线OP的方程为y=kx．可得R（0，2k），
则|AR|=2

1+k2

，…（8分）
设A（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立方程组

y=k(x+2)

x2

4

+

y2

3

=1

，
消去y得：（4k²+3）x²+16k²x+16k²-12=0，
x₁+x₂=-

16k2

4k2+3

，x₁x₂=

16k2-12

4k2+3

，
则|AQ|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

12

1+k2

4k2+3

． …（11分）
设y=kx与椭圆交另一点为M（x₃，y₃），P（x₄，y₄），联立方程组

y=kx

x2

4

+

y2

3

=1

，
消去y得（4k²+3）x²-12=0，|x₄|=

12

4k2+3

，
所以|OP|=

1+k2

|x₄|=

1+k2

?

12

4k2+3

． …（13分）
故

|AQ|?|AR|

|OP|2

=

2

1+k2

12

1+k2

4k2+3

(

1+k2

12

4k2+3

)2

=2．
所以

|AQ|?|AR|

|OP|2

等于定值2…（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左顶点A（-2，0），过右..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：