已知P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点，离心率为22，左焦点为F（-1，0）的椭圆C上，已知PF与FQ共线，MF与FN共线，PF?MF=0．（1）求椭圆C的方程；（2）试用直线PQ的斜率k（k≠0）表示四-数学试题及答案

1、试题题目：已知P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点，离心率为22，左焦点为F（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点，离心率为

2

，左焦点为F（-1，0）的椭圆C上，已知

PF

与

FQ

共线，

MF

与

FN

共线，

PF

?

MF

=0．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试用直线PQ的斜率k（k≠0）表示四边形PMQN的面积S，求S的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则a²=b²+c²
∵c=1，

c

a

=

2

∴a=

2

，b=1
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）由题意，PQ与MN垂直于F，设PQ的方程为y=k（x+1），与椭圆方程联立，可得
（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=-

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

∴|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

2

(1+k2)

1+2k2

同理，|MN|=

2

(1+k2)

2+k2

∴S_PMQN=

1

2

|PQ||MN|=2-

2k2

2k4+5k2+2

=2-

2

2k2+

2

k2

+5

≥

16

9

当且仅当k=±1时，取等号
∴四边形PMQN的面积的最小值为

16

9

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点，离心率为22，左焦点为F（..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：