已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），且与直线l：x-y-1=0交于A，B两点．（1）若右顶点到直线l的距离等于22，求椭圆方程．（2）设△AF1F2的重心为M，△BF1F2的重心-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦点为F1（-1，0），F2（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），且与直线l：x-y-1=0交于A，B两点．
（1）若右顶点到直线l的距离等于

2

，求椭圆方程．
（2）设△AF₁F₂的重心为M，△BF₁F₂的重心为N，若原点O在以MN为直径的圆内，求a²的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由椭圆右顶点到直线l的距离等于

2

，得

|a-0-1|

2

=

2

，解得a=2，由c=1，所以b²=a²-c²=3．
所以椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由题意设A（x₁，x₁-1），B（x₂，x₂-1），
由

y=x-1

(a2-1)x2+a2y2=a2(a2-1)

，得（2a²-1）x²-2a²x+2a²-a⁴=0
x1+x2=

2a2

2a2-1

，x1x2=

2a2-a4

2a2-1

∵直线AB：x-y-1=0过焦点F₂（1，0），
∴△AF₁F₂的重心M（

x1

3

，

x1-1

3

），
△BF₁F₂的重心N（

x2

3

，

x2-1

3

），
因为原点O在以MN为直径的圆内，
所以

OM

?

ON

=

x1x2

9

+

(x1-1)(x2-1)

9

=

2x1x2-(x1+x2)+1

9

=

2×

2a2-a4

2a2-1

-

2a2

2a2-1

+1

9

＜0，
解得，a2＞1+

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦点为F1（-1，0），F2（..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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