已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为53，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1⊥MB2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为53，定点M（2，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的离心率为

5

3

，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

试题来源：西城区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由

5

9

=e2=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

，得

b

a

=

2

3

．…（2分）
依题意△MB₁B₂是等腰直角三角形，从而b=2，故a=3．…（4分）
所以椭圆C的方程是

x2

9

+

y2

4

=1．…（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为x=my+2．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得（4m²+9）y²+16my-20=0．…（7分）
所以 y1+y2=

-16m

4m2+9

，y1y2=

-20

4m2+9

．…（8分）
若PF平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以k_PA+k_PB=0．…（9分）
设P（a，0），则有

y1

x1-a

+

y2

x2-a

=0．
将 x₁=my₁+2，x₂=my₂+2代入上式，整理得

2my1y2+(2-a)(y1+y2)

(my1+2-a)(my2+2-a)

=0，
所以 2my₁y₂+（2-a）（y₁+y₂）=0．…（12分）
将 y1+y2=

-16m

4m2+9

，y1y2=

-20

4m2+9

代入上式，整理得（-2a+9）?m=0．…（13分）
由于上式对任意实数m都成立，所以 a=

9

2

．
综上，存在定点P(

9

2

，0)，使PM平分∠APB．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为53，定点M（2，..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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