设椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为22，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2．（1）求椭圆方程．（2）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，当△OAB面-数学试题及答案

1、试题题目：设椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为22，过点F..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为

2

，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

2

．
（1）求椭圆方程．
（2）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，当△OAB面积最大时，求|AB|．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由

c

a

=

2

，
又过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

2

，
得

2b2

a

=

2

，且a²-b²=c²，解得a²=2，b²=1．
所以椭圆方程为

x2

2

+y2=1；
（2）根据题意可知，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=kx+2，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由方程组

y=kx+2

x2

2

+y2=1

，消去y得关于x的方程（1+2k²）x²+8kx+6=0
由直线l与椭圆相交于A，B两点，则有△＞0，
即64k²-24（1+2k²）=16k²-24＞0，得k2＞

3

2

由根与系数的关系得

x1+x2=-

8k

1+2k2

x1?x2=

6

1+2k2

故|AB|=

1+k2

|x1-x2|
=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

16k2-24

1+2k2

1+k2

又因为原点O到直线l的距离d=

2

1+k2

，故△OAB的面积S=

1

2

|AB|?d=

16k2-24

1+2k2

=

2

×

2k2-3

1+2k2

令t=

2k2-3

＞0，则2k²=t²+3
所以S△AOB=

2

t

t2+4

≤

2

，当且仅当t=2时等号成立，
即k=±

14

2

时，|AB|=

3

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为22，过点F..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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