已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且圆C：x2+y2+3x-3y-6=0过A，F2两点．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左顶点为A，左、右焦点分别..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，且圆C：x2+y2+

3

x-3y-6=0过A，F₂两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线PF₂的倾斜角为α，直线PF₁的倾斜角为β，当β-α=

2π

3

时，证明：点P在一定圆上．
（3）直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B，C，点Q为椭圆E上的一点，若直线QB，QC的斜率k_QB，k_QC存在且不为0，求证：k_QB?k_QC为定植．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵圆x2+y2+

3

x-3y-6=0与x轴交点坐标为A(-2

3

，0)，F2(

3

，0)，
∴a=2

3

，c=

3

，∴b=3，
∴椭圆方程是：

x2

12

+

y2

9

=1．…（4分）
（2）证明：设点P（x，y），因为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），
所以kPF1=tanβ=

y

x+

3

，kPF2=tanα=

y

x-

3

，
因为β-α=

2π

3

，所以tan（β-α）=-

3

．
因为tan（β-α）=

tanβ-tanα

1+tanαtanβ

=

-2

3

y

x2+y2-3

，所以

-2

3

y

x2+y2-3

=-

3

，
化简得x²+y²-2y=3，所以点P在定圆x²+y²-2y=3上．…（10分）
（3）证明：设B（m，n），Q（x′，y′），则C（-m，-n）
∴k_QB?k_QC=

n-y′

m-x′

?

-n-y′

-m-x′

=

n2-y′2

m2-x′2

∵

m2

12

+

n2

9

=1，

x′2

12

+

y′2

9

=1
∴两式相减可得

m2-x′2

12

+

n2-y′2

9

=0
∴

n2-y′2

m2-x′2

=-

3

4

∴k_QB?k_QC=-

3

4

…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左顶点为A，左、右焦点分别..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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