设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，过原点O斜率为1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆右焦点F到直线l的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是椭圆上异于M，N外的一点，-数学试题及答案

1、试题题目：设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，过原点O斜率为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

，过原点O斜率为1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆右焦点F到直线l的距离为

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆上异于M，N外的一点，当直线PM，PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为k₁，直线PN的斜率为k₂，试探究k₁?k₂是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设椭圆的焦距为2c（c＞0），F（c，0），直线l：x-y=0，F到l的距离为

|c|

2

=

2

，解得c=2．又∵e=

c

a

=

2

，∴a=2

2

，∴b=2．
∴椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．（6分）
（Ⅱ）由

x2

8

+

y2

4

=1

y=x

解得x=y=

2

6

3

，或x=y=-

2

6

3

，
不妨设M(

2

6

3

，

2

6

3

)， N(-

2

6

3

，-

2

6

3

)，P（x，y），
∴kPM?kPN=

y-

2

6

3

x-

2

6

3

?

y+

2

6

3

x+

2

6

3

=

y2-

8

3

x2-

8

3

，
由

x2

8

+

y2

4

=1，即x²=8-2y²，代入化简得k1?k2=kPM?kPN=-

1

2

为定值．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，过原点O斜率为..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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