如图，设F是椭圆：C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点P的-数学试题及答案

1、试题题目：如图，设F是椭圆：C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点，直线l为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

如图，设F是椭圆：C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A，B，求证：∠AFM=∠BFN；
（3）（理）求三角形ABF面积的最大值．

试题来源：宿松县三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵线段MN为椭圆的长轴，且|MN|=8，∴a=4
∵|PM|=2|MF|，
∴

a2

c

-a=2（a-c）
∴a²-ac=2ac-2c²，
∴2e²-3e+1=0，
解得e=

1

2

或e=1（舍去）
∴c=2，b²=a²-c²=12，
∴椭圆的标准方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFM=0，满足题意．
当AB方程为x=my-8，代入椭圆方程整理得
（3m²+4）y²-48my+144=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y1+y2=

48m

3m2+4

，y1y2=

144

3m2+4

，
∴K_AF+K_BF=

y1

x1+2

+

y2

x2+2

=

y1

m1-6

+

y2

my2-6

=

2my1y2-6(y1+y2)

(my1-6)(m

y

2

-6)

=

288m

3m2+4

-

288m

3m2+4

(my1-6)(my2-6)

=0
∴K_AF+K_BF=0，从而∠AFM=∠BFN 综上可知，恒有∠AFM=∠BFN．
（3）（理）∵P（-8，0），F（-2，0），∴|PF|=6，
∴|y₂-y₁|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

(

48m

3m2+4

)2 -4?

144

3m2+4

=

24

m 2-4

3m2+4

，
∴S_△ABF=S_△PBF-S_△PAF=

1

2

|PF|?|y2|-

1

2

|PF|?|y1|
=

1

2

|PF|?|y2-y1|
=

72

m2-4

3m2+4

=

72

m2-4

3(m2-4)+16

=

72

3

m2-4

+

16

m2-4

≤

72

2

3?16

=3

3

当且仅当3

m2-4

=

16

m2-4

即m²=

28

3

（此时适合△＞0的条件）时取等号
∴三角形ABF面积的最大值是3

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，设F是椭圆：C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点，直线l为..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：