已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上项点为B1，右、右焦点为F1、F2，△B1F1F2是面积为3的等边三角形．（I）求椭圆C的方程；（II）已知P（x0，y0）是以线段F1F2为直径的圆上一点，且x0＞-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上项点为B1，右、右焦点为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上项点为B₁，右、右焦点为F₁、F₂，△B₁F₁F₂是面积为

3

的等边三角形．
（I）求椭圆C的方程；
（II）已知P（x₀，y₀）是以线段F₁F₂为直径的圆上一点，且x₀＞0，y₀＞0，求过P点与该圆相切的直线l的方程；
（III）若直线l与椭圆交于A、B两点，设△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分别为G、H，请问原点O在以线段GH为直径的圆内吗？若在请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵

1

2

b?2c=

3

，a=2c，a²=b²+c²．
解得c²=1，b²=3，a²=4，
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）∵F₁F₂是圆的一条直径，∴圆的方程为x²+y²=1，
又P（x₀，y₀）是该圆在第一象限部分上的切线的切点，
∴kl?

y0

x0

=-1，解得kl=-

x0

y0

．
∴切线方程为y-y0=-

x0

y0

(x-x0)，又

x

20

+

y

20

=1，
化为l：x₀x+y₀y-1=0．
∴切线方程为l：x₀x+y₀y-1=0．
（III）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则G(

x1

3

，

y1

3

)，H(

x2

3

，

y2

3

)．
若原点O在以线段GH为直径的圆内，则

OH

?

OG

＜0，即

x1x2

9

+

y1y2

9

＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0，
下面给出证明：联立

x0x+y0y-1=0

x2

4

+

y2

3

=1

，
消去x整理为(4

x

20

+3

y

20

)y2-6y0y+3-12

x

20

=0，
∴y1+y2=

6y0

4

x

20

+3

y

20

，y1y2=

3-12

x

20

4

x

20

+3

y

20

，
∴x1x2=

1-y0y1

x0

?

1-y0y2

x0

=

1-y0(y1+y2)+

y

20

y1y2

x

20

=

4-12

y

20

4

x

20

+3

y

20

，
∴x₁x₂+y₁y₂=

7-12(

x

20

+

y

20

)

4

x

20

+3

y

20

=-

5

x

20

+3

＜0．
∴原点O在以线段GH为直径的圆内．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上项点为B1，右、右焦点为..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：