设椭圆M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，长轴长为62，设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭圆M于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）求证|AB|=621+sin2θ；（Ⅲ）设过右焦点F且与直线AB-数学试题及答案

1、试题题目：设椭圆M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，长轴长为62，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

设椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

，长轴长为6

2

，设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭圆M于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求证|AB|=

6

2

1+sin2θ

；
（Ⅲ）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）根据题意可得：

2a=6

2

c

a

=

2

b2=a2-c2

?

a=3

2

c=3

b=3

所求椭圆M的方程为

x2

18

+

y2

9

=1（4分）
（Ⅱ）当θ≠

π

2

，设直线AB的斜率为k=tanθ，焦点F（3，0），
则直线AB的方程为y=k（x-3）
有

y=kx-3k

x2

18

+

y2

9

=1

?（1+2k²）x²-12k²x+18（k²-1）=0
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
有x₁+x₂=

12k2

1+2k2

，x₁x₂=

18(k2-1)

1+2k2

|AB|=

(1+k2)[(

12k2

1+2k2

)2-4×

18(k2-1)

1+2k2

]

=

6

2

(1+k2)

1+2k2

**（6分）
又因为k=tanθ=

sinθ

cosθ

代入**式得
|AB|=

6

2

cos2θ+sin2θ

=

6

2

1-sin2θ+2sin2θ

=

6

2

1+sin2θ

（8分）
当θ=

π

2

时，直线AB的方程为x=3，
此时|AB|=3

2

（10分）
而当θ=

π

2

时，|AB|=

6

2

1+sin2θ

=3

2

综上所述所以|AB|=

6

2

1+sin2θ

（11分）
（Ⅲ）过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，
同理可得|CD|=

6

2

(1+k2)

2+k2

=

6

2

1+cos2θ

（12分）
有|AB|+|CD|=

6

2

1+sin2θ

+

6

2

1+cos2θ

=

18

2

2+

1

4

sin2θ

因为sin2θ∈[0，1]，
所以当且仅当sin2θ=1时，
|AB|+|CD|有最小值是8

2

（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设椭圆M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，长轴长为62，..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：