已知曲线C的方程为kx2+（4-k）y2=k+1（k∈R）．（1）若曲线C是椭圆，求k的取值范围；（2）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；（3）满足（2）的双曲线上是否-数学试题及答案

1、试题题目：已知曲线C的方程为kx2+（4-k）y2=k+1（k∈R）．（1）若曲线C是椭圆，求k的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知曲线C的方程为kx²+（4-k）y²=k+1（k∈R）．
（1）若曲线C是椭圆，求k的取值范围；
（2）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；
（3）满足（2）的双曲线上是否存在两点P、Q关于直线l：y=x-1对称，若存在，求出过P、Q的直线方程；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当k=0或k=-1或k=4时，C表示直线；
当k≠0且k≠-1且k≠4时方程为

x2

k+1

k

+

y2

k+1

4-k

=1，①
方程①表示椭圆的充要条件是

k+1

k

＞0

k+1

4-k

＞0

k+1

k

≠

k+1

4-k

即是0＜k＜2或2＜k＜4．
（2）方程①表示双曲线的充要条件是

k+1

k

?

k+1

4-k

＜0，
即k＜-1或-1＜k＜0或k＞4．
①当k＜-1或k＞4时，双曲线焦点在x轴上，
a²=

k+1

k

，b²=

k+1

k-4

，
其一条渐近线的斜率为

b

a

=

k+1

k-4

k+1

k

=

3

，得k=6．
②当-1＜k＜0时，双曲线焦点在y轴上，
a²=

k+1

4-k

，b²=-

k+1

k

，
其一条渐近线的斜率为

a

b

=

-

k+1

k

k+1

4-k

=

3

，得k=6（舍），
综上得双曲线方程为

x2

7

6

-

y2

7

2

=1．
（3）若存在，设直线PQ的方程为：y=-x+m．
由

y=-x+m

6x2-2y2

=7，
消去y，
得4x²+4mx-2m²-7=0．②
设P、Q的中点是M（x₀，y₀），则

x0=-

m

2

y0=

3m

2

M在直线l上，
∴

3m

2

=-

m

2

-1，解得m=-

1

2

，方程②的△＞0，
∴存在满足条件的P、Q，直线PQ的方程为y=-x-

1

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知曲线C的方程为kx2+（4-k）y2=k+1（k∈R）．（1）若曲线C是椭圆，求k的..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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