设函数y=f（x）满足：对任意的实数x∈R，有f（sinx）=-cos2x+cos2x+2sinx-3．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若方程f(x)=2a|x-12|有解，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数y=f（x）满足：对任意的实数x∈R，有f（sinx）=-cos2x+cos2x+2si..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

设函数y=f（x）满足：对任意的实数x∈R，有f（sinx）=-cos2x+cos²x+2sinx-3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f(x)=2a|x-

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|有解，求实数a的取值范围．

试题来源：绵阳二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f（sinx）=2sin²x-1+1-sin²x+2sinx-3=sin²x+2sinx-3，
所以f（x）=x²+2x-3（-1≤x≤1）．
（Ⅱ）①当x=

1

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时，f(

1

2

)≠0，不成立．
②当-1≤x＜

1

2

时，x-

1

2

＜0，
令t=

1

2

-x，则x=

1

2

-t，0＜t≤

3

2

，2a=

(

1

2

-t)2+2(

1

2

-t)-3

t

=t-

7

4t

-3，
因为函数h(t)=t-

7

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-3在(0，

3

2

]上单增，所以2a≤h(

3

2

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8

3

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4

3

．
③当

1

2

＜x≤1时，x-

1

2

＞0，
令t=x-

1

2

，则x=

1

2

+t，0＜t≤

1

2

，2a=

(

1

2

+t)2+2(

1

2

+t)-3

t

=t-

7

4t

+3，
因为函数g（t）=t-

7

4t

+3在(0，

1

2

]上单增，所以2a≤g（

1

2

）=0?a≤0．
综上，实数a的取值范围是（-∞，0]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数y=f（x）满足：对任意的实数x∈R，有f（sinx）=-cos2x+cos2x+2si..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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