已知函数f(x)=ax-32x2的最大值不大于16，又当x∈[14，12]时，f(x)≥18.（1）求a的值；（2）设0＜a1＜12，an+1=f(an)，n∈N+．证明an＜1n+1.-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ax-32x2的最大值不大于16，又当x∈[14，12]时，f(x)..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=ax-

3

2

x2的最大值不大于

1

6

，又当x∈[

1

4

，

1

2

]时，f(x)≥

1

8

.
（1）求a的值；
（2）设0＜a1＜

1

2

，an+1=f(an)，n∈N+．证明an＜

1

n+1

.

试题来源：辽宁试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由于f(x)=ax-

3

2

x2的最大值不大于

1

6

，所以f(

a

3

)=

a2

6

≤

1

6

，即a²≤1.①
又x∈[

1

4

，

1

2

]时f(x)≥

1

8

，所以

f(

1

2

)≥

1

8

f(

1

4

)≥

1

8

即

a

2

-

3

8

≥

1

8

a

4

-

3

32

≥

1

8

.

解得a≥1．②
由①②得a=1．
（2）由（1）知f（x）=x-

3

2

x2
①当n=1时，0＜a1＜

1

2

，不等式0＜an＜

1

n+1

成立；
因f(x)＞0，x∈(0，

2

3

)，所以0＜a2=f(a1)≤

1

6

＜

1

3

，故n=2时不等式也成立．
②假设n=k（k≥2）时，不等式0＜ak＜

1

k+1

成立，因为f(x)=x-

3

2

x2的对称轴为x=

1

3

，
知f（x）在[0，

1

3

]为增函数，所以由0＜a1＜

1

k+1

≤

1

3

得0＜f(ak)＜f(

1

k+1

)
于是有0＜ak+1＜

1

k+1

-

3

2

?

1

(k+1)2

+

1

k+2

-

1

k+2

=

1

k+2

-

k+4

2(k+1)2(k+2)

＜

1

k+2

，
所以当n=k+1时，不等式也成立．
根据①②可知，对任何n∈N^*，不等式an＜

1

n+1

成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ax-32x2的最大值不大于16，又当x∈[14，12]时，f(x)..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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