已知函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）．（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；（2）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，1+a]，总有|f（x1）-f（x2）|≤9，求实-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）．（1）若f（x）的定义域和值域..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x₁，x₂∈[1，1+a]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤9，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=（x-a）²+5-a²（a＞1），
∴y=f（x）在[1，a]上是减函数，…（2分）
又定义域和值域均为[1，a]，∴

f(1)=a

f(a)=1

，…（4分）
即

1-2a+5=a

a2-2a2+5=1

，解得 a=2．                                     …（6分）
（2）∵f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，∴a≥2，…（7分）
又对称轴为x=a，a∈[1，a+1]，且（a+1）-a≤a-1
∴f（x）_max=f（1）=6-2a，f（x）_min=f（a）=5-a²．                 …（10分）
∵对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤9，
∴f（x）_max-f（x）_min≤9，
即（6-2a）-（5-a²）≤9，解得-2≤a≤4，…（13分）
又a≥2，∴2≤a≤4．                                               …（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）．（1）若f（x）的定义域和值域..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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