已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，且a≠0），x∈R时，函数f（x）的最小值是f（-1）=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若g（x）=f（x）-1在区间[m，n]（m＜n）上的值域也为[m，n]，求m和n的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，且a≠0），x∈R时，函数f（x）的最..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，且a≠0），x∈R时，函数f（x）的最小值是f（-1）=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）-1在区间[m，n]（m＜n）上的值域也为[m，n]，求m和n的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意，函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，且a≠0），x∈R时，函数f（x）的最小值是f（-1）=0．
∴可设f（x）=a（x+1）²=ax²+2ax+a
与函数f（x）=ax²+bx+1比较可得a=1
∴f（x）的解析式为f（x）=（x+1）²；
（Ⅱ）g（x）=（x+1）²-1≥-1
∵g（x）=f（x）-1在区间[m，n]（m＜n）上的值域也为[m，n]，
∴m≥-1
∴g（x）=f（x）-1在区间[m，n]上单调增
∴

(m+1)2-1=m

(n+1)2-1=n

∴m，n是方程（x+1）²-1=x的两根
即m，n是方程x²+x=0的两根
∵m＜n
∴m=-1，n=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，且a≠0），x∈R时，函数f（x）的最..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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