已知f（x）=mx2+3（m-4）x-9（m∈R）．（1）试判断函数f（x）的零点的个数；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求d=|x1-x2|的最小值；（3）若m=1，且不等式f（x）-a＞0对x∈[0，2]恒成立，求实数-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=mx2+3（m-4）x-9（m∈R）．（1）试判断函数f（x）的零点的个数；（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知f（x）=mx²+3（m-4）x-9（m∈R）．
（1）试判断函数f（x）的零点的个数；
（2）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，求d=|x₁-x₂|的最小值；
（3）若m=1，且不等式f（x）-a＞0对x∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当m=0时，f（x）=-12x-9，函数的零点为x=-

3

4

，即函数只有一个零点
当m≠0时，△=9（m-4）²+36m=（m-2）²+12＞0
∴函数f（x）的零点的个数为2
故当m=0时，函数f（x）的零点的个数为1；当m≠0时，函数f（x）的零点的个数为2
（2）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，则m≠0，
x₁+x₂=

12-3m

m

，x₁?x₂=

-9

m

∴d=|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=

(

12-3m

m

) 2+

36

m

=12

(

1

m

-

1

8

) 2+

3

64

≥12×

3

64

=

3

2

（m=8时取等号）
∴d=|x₁-x₂|的最小值为

3

2

；
（3）若m=1，则f（x）=x²-9x-9
∴不等式f（x）-a＞0对x∈[0，2]恒成立，即x²-9x-9＞a对x∈[0，2]恒成立
只需f（x）在[0，2]上的最小值大于a
∵f（x）=x²-9x-9=（x-

9

2

）²-

117

4

≥f（2）=-23
∴a＜-23

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=mx2+3（m-4）x-9（m∈R）．（1）试判断函数f（x）的零点的个数；（..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：